第73章 你是不是对叫谷的有什么特殊爱好？

《傅里叶(Fourier)变换的限制性问题》。

这是林墨给自己接下来的研究，选定的题目。

林墨之所以选择先研究这个问题，是因为N-S方程是一个偏微分方程，研究傅里叶变换，有助于林墨更深入的了解偏微分方程的求解，对N-S方程的求解有帮助。

这也是林墨为什么选择先做傅里叶变换限制性问题作为第一个研究问题的原因。

不过在深入了接了傅里叶变化限制性问题之后，林墨感觉自己可系统坑了。

1970年，阿美利加数学家查里斯·费弗曼通过傅里叶变换在单位球面S

n?1上的某些限制性结果得到了关于博赫纳-里斯平均问题的一个一般性的结果。因此引发了人们对傅里叶变换限制性质的研究。

当然，这是个科学问题里的叫法，实际上这个问题还有另一个名字，它的名字叫挂谷猜想。

1917年，日本数学家挂谷宗一，提出了数学界着名的挂谷问题，其数学表述为：长度为1的线段在平面上做刚体移动，方式不限，转动也罢，平移也行，总之不惜采用任何手段，只求转过180度调头，试问：扫过的最小面积是多少？

挂谷宗一在提出此问题的同时，也给出了自己的猜测，也就是至今未解的挂谷猜想：最小单连通域的面积可能趋于零！

当然，将傅里叶变换的限制性问题研究，完全等同于挂谷猜想并不准确。

研究挂谷猜想取得的成果可以推动傅里叶变换的限制性问题研究的进展。但是并不代表彻底解决挂谷猜想，就能完整的解决傅里叶变换的限制性问题。

所以从某种程度上来说，个科学难题是比那些未解猜想还要难的难题。

这让林墨一度EMO。

不过人嘛，总是要有挑战才有乐趣不是？

林墨才不是为了什么任务奖励呢。

……

“傅里叶变换的限制性问题？”

田方一点了点头。

“好，既然你选好了，那我就报……”

田方一话还没说完，仿佛想起了什么，突然愣住。

“挂……挂谷猜想？”

田方一张了大嘴巴。

我让你选个简单的，你可倒好，上来直接选了个挂谷猜想。

先是角谷猜想（克拉茨猜想又名角谷猜想），又来挂谷猜想。

你是不是对叫谷的有什么特殊爱好？

挂谷猜想是那么好证明的吗？

挂谷猜想说的通俗点就是要在零空间的情况下，实现三点掉头。

这怎么可能？

1971年亨利·坎宁安在单位圆内作出面积可以非常小的单连通挂谷集，解决了单连通性和有界性两方面的问题。将挂谷集的面积缩小到了π/108=

0.029。

但是想要完全证明挂谷猜想给出的0，还差的很远。

甚至，按照坎宁安的方法，无法实现趋近于0的证明。

现在林墨说要研究这个……

田方一觉得，这一点也不比研究N-S方程来的简单半分。

“怎么了？田主任，有什么问题吗？”

“一个短期小研究罢了，你要是觉得不合适，等我把这个研究完了，下个题目你来选，如何？”

田方一嘴角抽了抽，短期？小研究？

好吧，你开心就好。

“没有，你安心研究就好，我会安排立项的事。”

田方一认了怂。

天要下雨，娘要嫁人，随他去吧。

天才的思路，咱老田跟不上。

田方一神色黯然的跟林墨说了声再见，转身离开。

送走田方一，林墨专心的开始了研究，他找来一些挂谷猜想的资料阅读了起来。

挂谷宗一为什么会提出挂谷猜想来呢？

这和脚盆国的国情脱不了干系。

挂谷宗一最开始提出的这个问题的原型是：一位武士在上厕所时遭到敌人袭击，矢石如雨，而他只有一根短棒，为了挡住射击，需要将短棒旋转一周360°（支点可以变化）。但厕所很小，应当使短棒扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少？

要是金庸大侠当时在场，大概会告诉他，夏国武当山上的道士，可以给他答案，因为他们擅长一种画圈圈的剑法。

剑随身换，圆转如意；不动之动，生生不已，是为太极。

所以，剑法的至高境界，便是挂谷猜想的答案，最小面积趋近于零。

所以林墨现在要研究的就是这剑法的至高境界。

扯远了，不过话糙理不糙，这个问题看似简单，但是想要真正证明，就好像要将剑法修炼到至高境界一般，困难无比。

对于这个问题，挂谷宗一和很多数学家投入其中。

挂谷宗一想到借助三尖内摆线，这种情况下线段扫过的面积是π/8。

1928年，前苏联数学家贝西科维奇用了一种构造性的证明方法——佩龙树。

把3个佩龙树分别旋转0，120°，240°并叠在一起，最后的图形在每个角上都有边长≥1的线段，形成一个贝西科维奇集，并且面积任意小。

这看似解决了挂谷猜想问题，但是这其中还是存在问题，因为佩龙树是个复杂结构，并不是单联通的。

这就好像武士需要舞动的不是一根短棍，而是舞动的由无数根短棍构成的一个盾牌，当然，如果武士速度足够的快，能够瞬间用完成短棍舞动出盾牌的效果，也算是能够满足挂谷猜想。

但是，这显然不现实，所以贝西科维奇的证明并不完美。

直到1971年，坎宁安用有限星形的方法，将最小值缩小到π/108。

之后，在无人能在此基础上，作出更有效的证明。

看完这些资料，林墨思索起来。

坎宁安的方法，到π/108就做不下去了，显然这种方法是行不通的。

贝西科维奇的方法，倒是能够无限趋近于0，可是要怎么解决单联通问题？

林墨想了想，突然想到了拓扑。

贝西科维奇的佩龙树，说白就是一种拓扑结构，只是这个拓扑结构不够完善，没法满足挂谷问题的要求，那么自己能够建立一个拓扑结构？用来解决这个问题呢？

想到就做，还好之前在解决克拉茨猜想时，林墨跟拓扑学没少打交道，因此甚是熟练，直接拿起笔来，写写画画起来。