第25-3章 二次函数围成面积

（一）

蔷薇丛的蜕壳大致完成了，各处零零散散还有崩裂的声音，现在的蔷薇丛和在水池天体上的周边海域都成了危险海域，大约需要一个月的时间来让蔷薇丛的崩壳稳定下来。

爱丽小窝在蔷薇丛高处，就没有受到崩裂是直接影响，下方枝丫振动时，也只是抖了些灰尘在爱丽小窝。

“天子，在画什么呢？”快乐爱丽在客厅，看着炽天子画在纸上的线条。

“哦，这就是条二次函数曲线，没什么的。”炽天子说着，拿起纸端详着函数曲线。

“仔细和我说说嘛，天子。”快乐爱丽撒娇一样，因为她看着炽天子在画图算二次函数围成的面积，居然没有用微积分来计算。

“好吧，我下面仔细说。”炽天子深呼唤着，整理思路。

（二）

炽天子先画了个直角坐标系，这样的坐标系是笛卡尔坐标系的直角形态。

然后画上函数：哇等于哎的平方，这个图像，然后在图像与哎轴围成的区域上画上阴影，就取哎轴上的范围零到一之间，记录这个面积为「啊」，这个图为图零。

然后画哎轴的一到二区域的面积，图为图一，这个区间上，哇轴上的零到一的区域，就形成面积为一的正方形，这个正方形上面的剩下的围成的阴影面积，记录标记为「哔」。

标记好后先进行一个证明：哇等于哎的平方，在哎轴零到二的区间围成的面积为「啊」的八倍。

“前面的都理解吗？——当然，就画图标记嘛。”炽天子和快乐爱丽解释交流着，可得清楚这个语言描述模式，虽然没有数学那样高效，但还是要尽可能说清楚点。

继续，证明如下：首先将哇等于哎的平方的图形长宽乘以二，得到图二，图二的函数曲线解析式就等于：二倍哇等于哎的平方，写作哇等于二分之（哎的平方）。

由于长宽放大二倍的关系，图二的哎轴上零到二围成的面积是图零的四倍，即图二零到二区间的面积为四倍「啊」。

再将哇等于二分之（哎的平方）朝哇轴放大两倍，函数解析式就等于哇等于哎的平方，图二正好放大变换成了图一。

因为这个哇轴放大二倍的关系，可得，图一为图二面积的二倍，故，图一为图零面积的二乘四等于八倍。

（三）

快乐爱丽仔细梳理着，这两个变换的确是让面积成倍数，而恰好是能让图二变换成图一，也正好证明了图二是图零面积的八倍，即，图二面积为八「啊」。

“我理一下，图零指的是哇等于哎的平方上哎轴零到一与曲线围成的投影面积，而图一指的是哇等于哎的平方上哎轴零到二与曲线围成的投影面积，图一面积证明为八「啊」。”炽天子强调着上面的证明，快乐爱丽点点头。

炽天子继续画图，在图一上画图，画出哎等于一，哎等于二，哇等于一，三条直线将图一分隔成三份，图上可以看从左到右和从下到上，三份区域分别为图零，正方体，和剩下的「哔」面积的图。

“接下来，建立个局部坐标系，就以图一的（一，一）点为原点，那么「哔」面积的图的解析式就是——哇等于｛（哎的平方）减去（二倍哎）｝。”炽天子说着，不过炽天子没法说清楚标点符号表达的计算优先级，于是一边说，一边写在草稿纸上。

“这个新函数在哎轴零到一上围成的面积就是「哔」，记录该图为图四。”炽天子继续强调着，生怕漏掉了什么关键逻辑。

“嗯，这个函数的解析式用解析式的原点变换就能算了，也可以用三点法代入重新算这二次函数。”快乐爱丽一边补充着，期待炽天子接下来的计算。

（四）

接着，用哇等于｛（哎的平方）减去（二倍哎）｝这个函数，减去哇等于哎的平方的函数，主要就是右边的解析式相减，在哎轴零到一上，表达出的图像操作，就是图四减图零，得到又一个新函数，哇等于二倍哎，正好把前面两个函数中的哎的平方这项给减去了。

而哇等于二倍哎，在哎轴零到一上，围成的面积，就用三角形面积计算，一乘二除以二等于一。

综上，表达成图形面积就是：「哔」减去「啊」等于一。

继续，从图一的构成来看，图一面积为八倍「啊」，图一中图四面积为「哔」，可以得出「哔」的表达式：「哔」等于八倍「啊」减去「啊」再减一。减去的单独的「啊」就是图零，后面减的一就是前面说的正方形。

整合下得出二元一次的方程组：

「哔」等于七倍「啊」减一。

「哔」减「啊」等于一。

故，解得「啊」等于三分之一，「哔」等于三分之四。

“所以，综上所述，这个图零的面积就等于三分之一，也就是说，哇等于哎的平方在哎轴零到一上投影围成的面积就是三分之一。”炽天子说着最后解出的结论，快乐爱丽再次梳理着。

“喔喔，好巧啊，就通过图形和函数变换的方法，就算出了二次函数的和哎轴围成的面积。”米字爱丽说着，她感叹着这个巧妙的发现。

“不过还是用微积分的方法来算快些，如果一些函数的图像复杂起来，不一定保证能用同样的方法来这样减去面积。”炽天子说着。

（五）

快乐爱丽给炽天子整理着这个小小的发现，虽然计算过程只取了零到一来算，其实是还能形成扩展变换的，就是把哎轴上的一替换成一个任意未知数，然后再以未知数代入计算上面的过程，如果最后得出的结果是和这个未知数相关的三分之一倍数，那就说明这个方法证明了这个图形法的二次函数的计算通用性。

“那要不试试三次函数，四次函数？”快乐爱丽问着。

“不了，现在都到凌晨了。”炽天子说着，然后洗洗睡了。