屋子里，徐云正在侃侃而谈：

“艾萨克先生，韩立爵士计算发现，二项式定理中指数为分数时，可以用e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……来计算。”

说着徐云拿起笔，在纸上写下了一行字：

当n=0时，e^x＞1。

“艾萨克先生，这里是从x^0开始的，用0作为起点讨论比较方便，您可以理解吧？”

小牛点了点头，示意自己明白。

随后徐云继续写道：

假设当n=k时结论成立，即e^x＞1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!（x＞0）

则e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!]＞0

那么当n=k+1时，令函数f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!（x＞0）

接着徐云在f(k+1)上画了个圈，问道：

“艾萨克先生，您对导数有了解么？”

小牛继续点了点头，言简意赅的蹦出两个字：

“了解。”

学过数学的朋友应该都知道。

导数和积分是微积分最重要的组成部分，而导数又是微分积分的基础。

眼下已经时值1665年末，小牛对于导数的认知其实已经到了一个比较深奥的地步了。

在求导方面，小牛的介入点是瞬时速度。

速度=路程x时间，这是小学生都知道的公式，但瞬时速度怎么办?

比如说知道路程s=t^2，那么t=2的时候，瞬时速度v是多少呢?

数学家的思维，就是将没学过的问题转化成学过的问题。

于是牛顿想了一个很聪明的办法：

取一个”很短”的时间段△t ，先算算t= 2到t=2+△t 这个时间段内，平均速度是多少。

v=s/t=（4△t+△t^2）/△t=4+△t。

当△t 越来越小，2+△t就越来越接近2 ，时间段就越来越窄。

△t 越来越接近0时，那么平均速度就越来越接近瞬时速度。

如果△t小到了0 ，平均速度4+△t就变成了瞬时速度4。

当然了。

后来贝克莱发现了这个方法的一些逻辑问题，也就是△t到底是不是0。

如果是0，那么计算速度的时候怎么能用△t做分母呢？鲜为人...咳咳，小学生也知道0不能做除数。

到如果不是0，4+△t就永远变不成4，平均速度永远变不成瞬时速度。

按照现代微积分的观念，贝克莱是在质疑lim△t→0是否等价于△t=0。

这个问题的本质实际上是在对初生微积分的一种拷问，用“无限细分”这种运动、模糊的词语来定义精准的数学，真的合适吗？

贝克莱由此引发的一系列讨论，便是赫赫有名的第二次数学危机。

甚至有些悲观党宣称数理大厦要坍塌了，我们的世界都是虚假的——然后这些货真的就跳楼了，在奥地利还留有他们的遗像，某个扑街钓鱼佬曾经有幸参观过一次，跟七个小矮人似的，也不知道是用来被人瞻仰还是鞭尸的。

这件事一直到要柯西和魏尔斯特拉斯两人的出现，才会彻底有了解释与定论，并且真正定义了后世很多同学挂的那棵树。

但那是后来的事情，在小牛的这个年代，新生数学的实用性是放在首位的，因此严格化就相对被忽略了。

这个时代的很多人都是一边利用数学工具做研究，一边用得出来的结果对工具进行改良优化。

偶尔还会出现一些倒霉蛋算着算着，忽然发现自己这辈子的研究其实错了的情况。

总而言之。

在如今这个时间点，小牛对于求导还是比较熟悉的，只不过还没有归纳出系统的理论而已。

徐云见状又写到：

对f(k+1)求导，可得f(k+1)'=e^x-1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!

由假设知f(k+1)'＞0

那么当x=0时。

f(k+1)=e^0-1-0/1!-0/2!-.-0/k+1!=1-1=0

所以当x＞0时。

因为导数大于0，所以f(x)＞f(0)=0

所以当n=k+1时f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!（x＞0）成立！

最后徐云写到：

综上所属，对任意的n有：

e^x＞1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!（x＞0）

论述完毕，徐云放下钢笔，看向小牛。

只见此时此刻。

这位后世物理学的祖师爷正瞪大着那一双牛眼，死死地盯着面前的这张草稿纸。

诚然。

以目前小牛的研究进度，还不太好理解切线与面积的真正内在含义。

但了解数学的人都知道，广义二项式定理其实就是复变函数的泰勒级数的特殊情形。

这个级数与二项式定理是兼容的，系数符号也是与组合符号兼容的。

所以二项式定理可以由自然数幂扩充至复数幂，组合定义也可以由自然数扩充至复数。

只不过徐云在这里留了一手，没有告知小牛n为负数的时候就是无穷级数这件事。

因为按照正常的历史线，无穷小量可是出自小牛之手，推导的过程还是交给他本人就好了。

就这样过了几分钟，小牛方才回过神。

只见他直接无视了身边的徐云，一个身位窜回座位，飞快的开始演算了起来。

看着全身心投入计算的小牛，徐云也不生气，毕竟这位祖师爷就是这种脾气，可能也就在威廉·艾斯库的面前会相对好点了。

沙沙沙——

很快。

笔尖与稿纸接触的声音响起，一道道公式被飞快列出。

徐云见状思索片刻，转世离开了屋子。

随意在墙角找了个位置，抬头看起了云卷云舒。

就这样，两个小时一转而过。

就在徐云盘算着自己下一步该如何落子的时候，木屋门忽然被人从中推开，小牛一脸激动的从内中窜了出来。

只见他的眼中布满了血丝，用力的朝徐云挥了挥手中的稿纸：

“肥鱼，负数、我推出了负数！一切都搞清楚了！

二项式指数不用去管它是正数还是负数，是整数还是分数，组合数对所有条件都成立！

杨辉三角，对，下一步就是研究杨辉三角！”

也不知道是不是太过激动的缘故，小牛压根没注意到，自己的假发都被震落到了地上。

看着满脸红光的小牛，徐云心中也不由浮现出了一丝改变历史的振奋感。

按照正常轨迹。

小牛要等到明年一月份收到一封约翰·提斯里波蒂的信件后，才会开窍般的攻克一系列的疑点难点。

而约翰斯里波蒂的那封信件中，提及的正是帕斯卡公开的三角图形。

也就是说......

这个时空数学史的节点，第一次被改变了！

有了二项式开展的初步成果，小牛必然要不了多久时间，便会在杨辉三角的协助下构筑出初步的流数术模型。

由此一来。

杨辉三角这个名字，也将会被镌刻在数学王座的基底之上，那个本就该属于它的位置！

纵使今后数百年世事变迁，沧海桑田，依旧无人能够撼动！

华夏先贤之光，在这条时间线里将永不蒙尘！

想到这儿，徐云不由深吸一口气，快步走上前：

“恭喜您了，艾萨克先生。”

看着面前东方面孔的徐云，小牛的脸上也**了一股感慨。

那位未曾谋面的韩立爵士，仅仅是留下的几处随笔就能为自己拨云见日，仅假借肥鱼这个不知相隔多少代的弟子之手，便能为自己推开一扇大门。

那么韩立爵士本人的学识又能达到什么样的高度呢？

能想出这种展开式的天才，称得上一句数学鬼才绝不为过吧？

原本自己以为笛卡尔先生已经天下无敌了，没想到居然还有人比他更为勇猛！

看来自己的数理之路，依旧任重道远啊......

......

注：

为啥出圈指数是负的.....